初高衔接:高中数学最常用的工具——均值不等式与不等式链
初高衔接:高中数学最常用的工具——均值不等式与不等式链
初高衔接:毕达哥拉斯与调和平均数
初高衔接:射影定理和几何平均数
初高衔接:几何视角下的基本不等式:算术平均数和几何平均数
初高衔接:平方平均数与统计,算术平均数与平方平均数
笔者已经将均值不等式中的各个平均数分别介绍
接下来我们将汇总一下,得到最终的均值不等式
一、均值不等式
均值不等式,又称为平均值不等式、平均不等式,是数学中的一个重要公式
含有四个平均值:调和平均数
,几何平均数
,算数平均数
,平方平均数
满足
即调和平均数不超过几何平均数,几何平均数不超过算术平均数,算术平均数不超过平方平均数。
展开来就是
当且仅当所有数据相等时取等
二、 均值不等式二元形式
当然,在高中阶段我们不需要这么普适的式子
只需要让n=2
也就是
当且仅当a=b时取等
这个式子就是高中数学最经典的不等式链!\
三、作商法证明不等式
下面介绍一种比大小的方法
换而言之,要比较两个式子的大小,只要比较它们的商和1的关系
四、不等式链的证明
就是基本不等式,无需再提
在初高衔接:平方平均数与统计,算术平均数与平方平均数中笔者已经证明了
所以
那么未被证明的就只有调和平均数小于几何平均数
巧合的是
这意味着什么? 巧合的是,调和平均数和算数平均数乘起来恰好就是几何平均数的平方
因为
接着我们用作商法
所以
所以
这样我们就兵不血刃的证明了二元均值不等式
五、不等式链的意义
不等式链涉及到了二元,分式,根号,平方等等多个方面
涵盖了高中阶段的主要计算式
运用基本不等式,辅以配凑,是解决不等式问题最常用的方法!
但柯西不等式,权方和不等式等也需要掌握,以提升解题速度
初高衔接:高中数学神级技巧——柯西不等式
初高衔接:用权方和不等式秒杀一类问题
望读者有所收获!
六、一道练习题
这道题目十分经典,我们将会不断见到这种题型!
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